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考研数学迷之知识点——多元函数微分学
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作者:
sunshine
时间:
2018-8-24 13:46
标题:
考研数学迷之知识点——多元函数微分学
数学看似一个逻辑性很强的学科,但却非常的抽象,有时候一个概念会需要理解很久。今天我们要学的一个比较难的知识点叫多元函数微分学,微分比积分本就比较抽象且不好理解,还涉及到多元,快跟着帮帮复习巩固一下吧。
1、导数和微分到底是什么?
导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具,是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。
说白了,就是每次描述函数图像变化,不用再画图了,有了这个,直接用算式算算就行了。因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。
而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势,是一个变化的速率;微分描述的是函数从一点(移动一个无穷小量)到另一点的变化幅度,是一个变化的量。
2、函数的变化
描述函数的变化,一个是描述函数的变化快慢,一个是描述函数变化多少。比如图1中,类似于一元函数的探讨,想知道函数在A点变化的快慢趋势,以及从A点到B点变化的幅度是多少。
另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题,就是函数可以固定一个变量,让另一个变量来变化,那么这又是与一元函数的十分不同的变化了,其实这是一个变化维度的问题。
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多元函数的变化,要考虑哪些问题:
(1)函数在A点的趋势变化。
(2)函数从A到B的变化的量。
(3)函数降维时候的变化,比如固定y,将二元函数看成一个一元函数来让x单独变化,又会产生什么变化。
3、多元函数的相关概念
明确了我们要考虑的问题,其实就是怎么用数学工具来描述上面的那些变化,就要动手来解决问题了。如何将一元函数的导数和微分的知识进行相应的拓展,于是就产生了多元函数微分学的那些概念。
(1)方向导数:本质就是函数在A点无数个切线的斜率的定义。每一个切线都代表一个变化的方向。
(2)梯度:函数在A点无数个变化方向中变化最快的那个方向。
(3)全微分:函数从A点到B点变化的量(其实是取一个无穷小的变化的量)。
(4)偏导:多元函数降维时候的变化,比如二元函数固定y,只让x单独变化,从而看成是关于x的一元函数的变化来研究。
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