数学备考答疑：一秒治愈你的考研心病

Bystand

　摘要：每年的考研大军中，总有一支特殊的队伍，可以称之为：拒考数学者。考研数学难于上青天吗？好像并不像大家刻板印象中所认知的这样吧！为了让大家能够正确的认识数学，以及了解数学和准确的复习数学，帮帮整理了以下问题，大家要记得收藏哦！


　　考研数学一直是很多文科孩子们的“心病”，面对数学的难点和弱项，我们应该及早开始准备。但是在准备考研数学复习时却总有这样那样的问题：用什么参考书？怎么安排和规划？做题找不到门路怎么办？为此，帮帮特地为大家总结了数学复习过程中容易出现的19个问题，帮助大家答疑解惑。


　　●市面或网上的考研数学复习资料很多：考纲、各类文章、真题、各阶段的模拟题，那么考研数学复习的基本依据是什么？


　　基本依据是考纲和历年真题。考试大纲是命题依据，考生可以通过考纲获得考研的最基本也是最权威的信息，如考试范围和考试要求。而历年真题在所有试题中含金量最高，可以通过对真题的分析获得多方面的信息，如试题难度，核心考点等。


　　●能否简单概括考研数学的要求？


　　我们依据什么来回答这个问题呢？我认为是对考纲和真题的分析。从考纲看，考研数学对考生有掌握程度的要求，分为“了解”、“理解”和“掌握”；从考研真题看，考研数学的要求如果用三个关键字概括，即：“基础”、“方法”和“熟练”。


　　●“基础”、“方法”和“熟练”具体指什么？


　　考生可任选一道考研真题，该题可能有一定难度和综合性，但其分解之后的考点都在考纲规定的考点范围内，说明考研数学重基础。


　　那么打牢基础是否能轻松应对考试呢？不够，还需要在此基础上总结方法。比如中值定理相关的证明题是令不少考生头痛的一类题。考生把基础内容(闭区间上连续函数的性质、费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理内容能完整表述，定理本身会证)，直接做真题，很可能没什么思路，不知道朝哪个方向想。


　　知识从理解到应用有一个过程：理解了不代表会用，应用还有个方向问题——在哪方面应用呢？这时真题的价值就显现出来了：真题是很好的素材，通过对历年真题的分析总结，可以对真题的具体应用有直观认识，对真题的命题思路有全面认识。


　　换句话说，通过对真题“归纳题型，总结方法”可以让考生知道哪道题目往哪个方向想。以中值定理相关的证明这类题型为例，如果总结到位了，就能达到如下效果：拿到一道此类型的题目，一般可以从条件出发进行思考，看要证的式子是含一个中值还是两个。


　　若是一个，再看含不含导数，若含导数，优先考虑罗尔定理，否则考虑闭区间上连续函数的性质(主要是两个定理——介值定理和零点存在定理);若待证的式子含两个中值，则考虑拉格朗日定理和柯西定理。


　　●后面的时间如何安排，如何规划？


　　一般来说，一个完整的考研复习周期为近一年的时间——从3月到12月，可以划分为“考研四季”：考研之春(3-6月)，考研之夏(7-8月)，考研之秋(9-10月)和考研之冬(11-12月)。前三季对应考研数学的三个要求——“基础”、“方法”和“熟练”，第四季的任务是模拟演练，查漏补缺。


　　以上是大的规律性的东西。每位考生可以根据自身的情况制定自己的复习计划。


　　●“基础”、“方法”我相对完整地过了一遍，那接下来怎么达到“熟练”呢？


　　考生可能对考研没有透彻的理解，但一定对高考有较全面的把握。而考研数学和高考数学有不少相似之处，那么大家如何达到高考数学的“熟练”的要求呢？多做题是有效的途径。


　　做什么题？真题和模拟题。优先选真题，市面上有十几年的真题解析，网上也有一些资料。此外，假设考生考数学三，那么不光做数三的历年真题，数一数二，只要在数三的考试范围内的真题，也要做。最后，想要达到“熟练”，分享一句卖油翁的话，“无他，唯手熟尔”。


　　●刚做了两套测试卷，感觉不理想，“基础”、“方法”我好像都没掌握好，受打击呀。


　　李开复说过“挫折不是惩罚，而是成长的契机”。测试成绩不理想，感觉受打击也是人之常情。但更积极的态度是将其看成完善、提升的机会。暴露出问题不可怕，甚至是必要的。我们还有相对充足的时间，完全可以有大幅度的提升。


　　你这种情况也不少。那既然发现了自己基础不牢，方法也未完全掌握，那怎么做其实自己也明白了。数学是很“诚实”的学科，有的文科自己没有什么思路，还可以写点自己的认识，但数学没有思路，真的写不出什么来。所以从头做起，扎扎实实是必不可少的。当然，也不要忘记“考研之秋”的任务。


　　●我基础还可以，下个阶段有没有详细些的建议？只一个“熟练”就够了？


　　对于基础不错，有志于考高分的考生，下个阶段的复习可以在以下三个方面下功夫：适当拓展难度，提升熟练度，提升准确度。


　　要想在考场上游刃有余，只做与真题难度相当的题目是不够的。适当做点难度超过真题的模拟题，可以使考生再面对真题时感觉“简单”。也有考生问能否推荐模拟卷。大家可以上网上查查销量最好的模拟卷，得到市场认可的资料质量不会错。


　　●有时复习状态不好，有什么好的建议？


　　经验性的文章网上有很多，这里不赘述了。


　　●复习全书要不要过一遍呢？很纠结。


　　有不少质量不错的数学资料，考生不知如何取舍。我的看法是这样：可以按照权威性给资料排个序，以高数资料为例：《同济六版教材》《复习全书》各类模拟卷。这样可以按照资料的权威性来选择复习资料，过完教材过复习全书。


　　书不在多，而在精。真正的高手未必用了很多资料，但很可能是把权威性的资料用得很精。比如教材，包含了考纲要求的基础知识，来龙去脉写得很详细，而且一些方法也蕴含在题目中，但需要挖掘整理。


　　所以能把教材用精了的考生水平一定不低。再比如，《复习全书》经过了时间检验，质量不错。怎么用精？过一遍肯定不行，得过两、三遍。另外，题目最好自己动手做，而不是仅仅看。走笔至此，刘禹锡的《陋室铭》中的句子就在嘴边：山不在高，有仙则灵；水不在深，有龙则灵……


　　●我是工作之后再回来考研的，前面没有系统地复习，现在做题很吃力，要不要从基础的开始看呢？


　　建议打牢基础。“基础不牢，地动山摇”。


　　●碰到一道题，想了十多分钟想不出来，怎么办？


　　不能一概而论，要视题和自己两方面的情况而定。


　　从题的角度，可以看题的难度和重要程度。如果题目本身确实比较难，而自己目前基础较薄弱，可以先放一放，等后面功底深厚了，再来个“回马枪”；如果题目本身属于核心考点，那确实应该多花一些时间，两个、三个十分钟也值得。其他情况，考生可作相应处理。


　　从自身的情况看，可以看基础和时间。如果自己基础较薄弱，那挑战难题就不大明智；如果时间充裕，多思考下难题倒是无妨，但如果时间紧，而还有比较基础的考点没搞定，那还是把难题放一放好。


　　以上策略适用于备考，也适用于考场答题。考场上碰到一时想不出来的题目是正常的，建议先放一放，把能搞定的题目做完，再回过头来琢磨这道题。


　　这样做的好处是：万一这道题做不出来，因为已经搞定大部分基础题，所以仍能得到一个可接受的分数;做出来，当然是锦上添花了。另外，搞定大部分基础题后，考生心理会“有底”，而在放松的状态下是有利于做出较难的题目的。


　　有的同学做不出某道题，不愿意往下走，做下面的题会不舒服。我想提醒这类同学：我们毕竟是在考试，而不是做学问。


　　考试的目的是在限定的时间内发挥出最佳水平，取得尽可能高的分数。所以考试是个“条件最值”问题，我们无法取到“无条件最值”那种理想解。而做学问应该花时间搞定每个点。考试是务实的，而做学问则带有理想主义色彩。


　　●我是“二战”考生，老是心里没底怎么办？


　　为什么会心里没底？是担心遗漏考点，还是担心会的题做错，还是怕搞不定新题？


　　如果担心遗漏考点，那么梳理体系是个不错的方法。找若干张空白的纸，可以按照章节，可以按照模块，系统梳理该部分的知识点、方法和题型。一趟梳理过后，自己心里会“有底”一些：考试要求有哪些，自己掌握了哪些，哪些掌握得不牢固。


　　如果担心会的题做错，那得分析做错的原因。一般来说可以通过多练来解决。也不排除是心理作用。其实不只是考试，处理工作以及生活中的问题都需要自信。自信的人能充分甚至超水平发挥自己的水平。自信源自何处？充分准备和多练。


　　所谓“尽人事而待天命”，“改变能改变的事，接受不能改变的事，用智慧分辨二者的不同”以及“积极进取，随意而安”，道理都是相通的。我们把自己能做的事做好，就可以把心放下了。


　　●概率中的矩估计和极大似然估计常考大题，这部分不大理解，但按照步骤也能做对，要不要花精力理解呢？


　　这就像练武，内功没有长进，也没有融会贯通，但是记住了招式，这样行吗？也未必不行。因为招式也是武功的一部分，遇见水平较低的对手，按照招式走也常常有效。但这是多数习武者追求的吗？


　　答案显而易见。对于备考而言，“理解”、“融会贯通”能提升考生的内功，而排除偶然因素后，内功深厚是考高分的必要条件。


　　●线性代数向量那部分的定理比较抽象，一定要会证明吗？


　　向量部分有两大部分内容需要重点把握：一部分是向量的两个核心概念“线性相关”和“线性表出”与线性方程组的关系；另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。


　　前一部分对处理数值型向量组的“线性相关”和“线性表出”问题很有效——处理“线性相关”问题转化为齐次线性方程组有非零解的问题；处理“线性表出”问题转化为非齐次线性方程组的解的存在性问题。


　　后一部分对考生的逻辑思维能力要求较高。定理内容要熟悉，大部分的定理要会证明。如“n(n>=2)个向量构成的向量组线性相关的充要条件是存在一个向量能由其余向量线性表出”，该定理有助于理解“线性相关”这个概念的含义。


　　另外该定理的证明过程中包含着证明一个向量由一个向量组线性表出的思路：找一个包含这个向量和向量组的等式，说明该向量的系数不为0即可。


　　●线代既灵活又抽象，怎么把握呢？


　　帮帮问过不少考生这个问题：线性代数的知识结构是树形结构还是网状结构？不少同学回答网状结构。考生首先应该把考纲规定的每个考点掌握好，接下来完成“归纳题型，总结方法”的任务(可以自己把参考资料总结的方法消化吸收，也可以把老师讲的方法消化吸收)，接下来就是形成体系和强化重难点了。


　　如何形成体系呢？用核心的概念把相关的知识串起来是个不错的方法。比如n阶矩阵A可逆有多少等价条件？从行列式的角度是A的行列式不等于0，从向量的角度是A的列向量组或行向量组线性无关，从线性方程组的角度是Ax=0仅有零解或Ax=b有唯一解，从秩的角度是r(A)=n，从特征值的角度是A的特征值不含0，从二次型的角度是A的转置乘A正定。


　　还有，要有寻根究底的精神。比如，我们讨论下秩这个让考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么？线性代数中有两个秩：一个矩阵的秩，一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么？要会“翻译”。


　　“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题，还得会“间接翻译”：该矩阵存在k阶非零子式，并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。


　　再进一步思考：前半句话用秩的语言怎么描述？应为r(A)>=k；后半句话用秩的语言怎么描述？应为r(A)<=k。再思考：该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况？应有两种情况：1)矩阵存在k+1阶子式，但k+1阶子式全为0;2)矩阵不存在k+1阶子式(如矩阵是k阶方阵)。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了，但还需多做题才能达到熟练。


　　类似地，我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先，向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组？顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。


　　但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题：有同学对于比较抽象的概念比较头疼，试图抛开严格的数学表述，而通过举例子等方式理解，这样可以吗？不行！举例子确实有助于理解，但代替不了严格的数学表述。


　　其实，定义理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题：如极大无关组是否唯一？如果不唯一，那它们是什么关系？


　　还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A，矩阵可以按列分块，也可以按行分块，这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩，矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系？结论是相等。这个结论不需要证明，会用即可。


　　●总是感觉概率理解不透彻，不好把握。


　　从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。


　　从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。


　　考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。所以随机变量的理解至关重要。讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。分布即为描述随机变量的方式。


　　分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。


　　介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。多维分布总体上分成三种：联合分布，边缘分布和条件分布。其中每种分布又细分为分布函数、分布律和概率密度。只不过条件分布函数我们不考虑。该章常考大题，常考随机变量函数的分布和边缘分布、条件分布。之后讨论随机变量的独立性。


　　分布包含着随机变量的全部信息，如果只关心部分信息就要考虑数字特征了。数字特征考小题。把公式性质记清楚，多练习即可。


　　大数定律和中心极限定理是偏理论的内容，考试要求不高。


　　数理统计是对概率论的应用。其中考大题的地方是参数估计(矩估计和极大似然估计)，考小题的点是常用统计量及其数字特征，三大统计分布，正态总体条件下统计量的特殊性质。


　　●经常看着会，但一动手就会发现问题：要么是哪卡住了，要么是做得慢。什么原因，怎么解决？


　　这是考生普遍性的问题。看着会说明考生对基本考点、基本方法有一定认识;但一动手就发现问题多多，说明要么考生理解不到位(考试要求考生对考点理解到一定深度)；做得慢，说明不熟练。


　　那么如何解决呢？我觉得可以在两方面下功夫：理解和熟练。如果理解不透彻，不到位，可以通过听课、看书、做题解决；如果已经理解了，但不熟练，那只有多练，多做题了。


　　●数一、数二、数三，高数都是大头，高数命题有什么规律吗？


　　根据对2014年的真题分析，发现高数命题有如下规律：


　　1)侧重对数一、数三独有知识的考查。数一有什么独有知识？大的模块有空间解析几何、多元积分(三重积分、曲线积分和曲面积分);数三独有的知识包括经济应用和级数(相对数二而言)。比如2014年真题中数一考了切平面方程，斯托克斯公式还有曲面积分；数三考了边际收益和幂级数求和展开。


　　2)考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。说白了就是应用题。比方上面提到的数三的经济应用，数二考到了形心质心。前者是导数的经济应用，后者是定积分的几何应用。


　　3)考点覆盖较全。这提示考生不要有侥幸心理，不要忽略次要考点，要做全面复习。这与把握重点是不矛盾的。这里可以把考研政治中的马克思主义哲学基本原理用过来：全面复习和把握重点的辩证统一。


　　●为什么做题这么重要？多看不也行吗？


　　帮帮经常问同学两个问题，你也可以试着回答一下这两个问题。


　　1)考研数学是跟高考数学比较像，还是跟奥数比较像？多数同学都认为跟高考数学像。我也认可这种回答。因为都是标准化测试，考查的也是通性通法。


　　2)大家都是从高考过来的，有没有见过这两种同学：基本不做题，光听光看，结果高考数学考得非常好；不听课，但自己埋头做题，结果高考数学考得非常理想？多数同学认为没见过第一种同学，有第二种同学。我也是这么认为的。道理也不难：考试的形式如果是这样，监考老师坐在那，问：“同学，请你说说中值定理相关证明这类题的思路”，那么做题确实有点多余，我们的备考改成“坐而论道”就可以了。


　　可是现实是考试的形式是笔试，是“双规”——在规定时间内，在规定的地点用笔答题。所以不做题，做题少就不行了。


　　如果用一句话总结一下听课与做题的关系，我觉得是：做题是取得好成绩必要条件，而听课是非必要条件。那听课的作用是什么？是帮助考生理解，节省考生自己总结方法的时间。